مشتق: شیب در یک نقطه

جاده‌ی کوهستانی

یه جاده‌ی کوهستانی رو در نظر بگیرید که از روی یه تپه رد می‌شه، و از چپ به راست روش راه می‌ریم. سه نفر جاهای مختلفش ایستادن:

اولی توی سربالاییه و نفس‌نفس می‌زنه. دومی بالای تپه‌ست و زیر پاش صافه. سومی توی سرازیریه و باید ترمز کنه. خط‌چین زیر پای هر کدوم، شیب همون نقطه‌ست.

به همین شیب زیر پا، توی ریاضی می‌گن مشتق. یه عدده که برای هر نقطه می‌گه زمین اونجا چقدر و به کدوم طرف کجه.

شیب یعنی چی

اول یه سطح شیب‌دار صاف، مثل رمپ پارکینگ. ۱۰ متر جلو می‌رید، ۲ متر بالا می‌رید:

شیب یعنی «برای هر یه قدم جلو، چقدر بالا». اینجا ۲ تقسیم بر ۱۰، یعنی دو دهم: هر یه متر جلو، بیست سانت بالا. روی یه رمپ صاف، شیب همه‌جا یکیه.

توی درس تاکسی‌متر هم همین رو دیدیم: هر کیلومتر، ۸ تا بالاتر. اون ۸ همون شیب خط کرایه بود.

شیب در یه نقطه

ولی تپه صاف نیست؛ شیبش هر جا یه چیزه. پس «شیب تپه» چنده؟ ترفند اینه که خیلی از نزدیک نگاه کنیم:

هر منحنی‌ای رو اگه به اندازه‌ی کافی از نزدیک ببینید، تقریبا یه خط صافه؛ مثل زمین که گرده ولی زیر پای ما صاف به نظر میاد. به این خط صاف که منحنی رو توی همون نقطه لمس می‌کنه می‌گن خط مماس.

مشتق، شیب همین خط مماسه. برای همین بهش می‌گن «شیب در یک نقطه»: هر نقطه مشتق خودش رو داره.

مثبت، صفر، منفی

برگردیم سر تپه. مشتق دو چیز می‌گه:

• علامتش، جهت رو: مثبت یعنی سربالایی، منفی یعنی سرازیری، صفر یعنی صاف.
• اندازه‌ش، تندی رو: عدد بزرگ یعنی خیلی تند، عدد نزدیک صفر یعنی ملایم.

یه نکته‌ی خیلی مهم: بالای تپه، و ته دره، مشتق صفره. یعنی هر جا که یه تابع به بیشترین یا کمترین مقدارش می‌رسه، زمین زیر پا صافه. این نکته به‌زودی خیلی به کار میاد.

سرعت‌سنج

مشتق فقط مال تپه نیست. هر جا یه چیزی به یه چیز دیگه بستگی داره، مشتق می‌گه با یه تغییر کوچیک، چقدر عوض می‌شه. به همین دلیل بهش «نرخ تغییر لحظه‌ای» هم می‌گن.

بهترین مثالش جلوی چشم هر راننده‌ست. کیلومترشمار ماشین می‌گه تا حالا چقدر اومدید. سرعت‌سنج می‌گه کیلومترشمار همین الان با چه سرعتی عوض می‌شه. یعنی سرعت، مشتق مسافت نسبت به زمانه.

توی یادگیری ماشین

حالا فرض کنید یه پیچ داریم و یه عدد به اسم «خطا» که می‌گه پیش‌بینی‌های مدل چقدر از جواب درست دورن. با چرخوندن پیچ، خطا بالا و پایین می‌ره؛ یه جور جاده‌ی کوهستانی، که ما می‌خوایم بریم ته دره‌ش.

مشتق خطا نسبت به پیچ، همون شیب زیر پاست. اگه مثبته، یعنی با زیاد کردن پیچ خطا بیشتر می‌شه؛ پس پیچ رو کم کن. اگه منفیه، زیادش کن. اگه صفره، احتمالا ته دره‌ای. مدل با همین، بی اینکه کل جاده رو ببینه، می‌فهمه به کدوم طرف بره.

ولی مدل‌ها یه پیچ ندارن، میلیون‌ها دارن. درس بعد، گرادیان، یعنی شیب برای همه‌ی پیچ‌ها با هم.