میانگین، واریانس و توزیع

دو کلاس، یه میانگین

دو تا کلاس پنج‌نفره امتحان دادن. معلم می‌گه «میانگین هر دو کلاس پونزده شد». پس مثل همن؟ نمره‌ها رو روی یه خط ببینید:

توی کلاس الف همه دور و بر پونزده‌ان: چهارده، پونزده، شونزده. توی کلاس ب یکی ده گرفته، یکی بیست. میانگینشون یکیه، ولی دو تا کلاس کاملا فرق دارن.

درس این تصویر اینه: برای خلاصه کردن یه دسته عدد، یه عدد کافی نیست. مرکز لازمه، پخش بودن هم لازمه، و گاهی شکل کلی. این درس هر سه رو می‌گه.

میانگین

میانگین رو همه بلدیم:

1. همه‌ی عددها رو جمع کنید: ۱۰ و ۱۲ و ۱۵ و ۱۸ و ۲۰، می‌شه ۷۵.
2. تقسیم بر تعدادشون کنید: ۷۵ تقسیم بر ۵، می‌شه ۱۵.

میانگین همیشه بین کوچیک‌ترین و بزرگ‌ترین عدده؛ یه جور «مرکز» دسته. ولی یه ضعف بزرگ داره که فصل بعد می‌بینیم.

پولدار توی قهوه‌خونه

پنج نفر توی یه قهوه‌خونه نشستن؛ درآمد ماهانه‌شون ۱۰، ۱۲، ۱۵، ۱۸ و ۲۰ میلیون تومنه. میانگین ۱۵. حالا یه نفر خیلی پولدار با درآمد ماهی هزار میلیون میاد تو:

میانگین یهو از ۱۷۹ هم بیشتر می‌شه! یعنی «میانگین درآمد آدم‌های این قهوه‌خونه ۱۷۹ میلیونه». درسته، ولی گول‌زننده‌ست؛ هیچ‌کس جز یه نفر نزدیک این عدد نیست.

اینجاست که میانه به کار میاد: عددها رو مرتب کنید و عدد وسطی رو بردارید. اگه دو تا وسطی بود، وسطِ اون دو تا. اینجا وسط ۱۵ و ۱۸، یعنی ۱۶٫۵. هر چقدر هم اون آدم پولدارتر بشه، میانه تکون نمی‌خوره. برای همین برای درآمد، معمولا میانه حرف درست‌تری می‌زنه.

پراکندگی

برگردیم سر دو کلاس. چطور با یه عدد بگیم کلاس ب «پخش‌تره»؟ ساده‌ست:

1. فاصله‌ی هر نمره تا میانگین رو حساب کنید. کلاس ب: منفی ۵، منفی ۳، ۰، ۳، ۵.
2. هر فاصله رو به توان دو برسونید، که منفی‌ها مثبت بشن: ۲۵، ۹، ۰، ۹، ۲۵.
3. میانگینشون رو بگیرید: ۶۸ تقسیم بر ۵، می‌شه ۱۳٫۶.

به این عدد می‌گن واریانس. برای کلاس الف همین حساب می‌شه ۰٫۴. یعنی کلاس ب خیلی پخش‌تره. چون به توان دو رسوندیم، واحدش عجیبه؛ برای همین ریشه‌ش رو هم می‌گیرن و بهش می‌گن انحراف معیار: برای کلاس ب حدود ۳٫۷ نمره، برای کلاس الف حدود ۰٫۶ نمره. انحراف معیار کم یعنی همه نزدیک میانگینن، زیاد یعنی پخشن.

منحنی زنگوله‌ای

اگه عددهای خیلی زیادی داشته باشیم، می‌شه دید چطور پخش شدن: کجاها زیادن، کجاها کم. به این شکل کلی می‌گن توزیع. یکی از معروف‌ترین شکل‌ها، زنگوله‌ایه، که بهش «توزیع نرمال» هم می‌گن:

وسطش بلنده، یعنی بیشتر عددها نزدیک میانگینن؛ دو طرفش کم‌کم پایین میاد، یعنی عددهای خیلی دور کمن. توی این شکل یه قاعده‌ی خیلی به‌دردبخور هست:

• حدود ۶۸ درصد عددها تا یه انحراف معیار از میانگین فاصله دارن.
• حدود ۹۵ درصد تا دو انحراف معیار.
• حدود ۹۹٫۷ درصد تا سه انحراف معیار.

یعنی اگه یه عدد بیشتر از سه انحراف معیار از میانگین دور بود، خیلی عجیبه و ارزش داره یه نگاه بهش بندازید.

توی یادگیری ماشین

این سه تا عدد همه‌جای یادگیری ماشین هستن:

• پیش از ساختن مدل، برای هر ستون میانگین و انحراف معیار رو نگاه می‌کنیم تا داده رو بشناسیم.
• استانداردسازی یعنی از هر عدد میانگین رو کم کن و تقسیم بر انحراف معیار کن.
• عددهایی که خیلی از میانگین دورن، ممکنه داده‌ی پرت باشن.
• اگه داده‌ای که مدل روش یاد گرفته با داده‌ی امروز توزیعش فرق کنه، مدل خراب می‌کنه.

درس آخر ایستگاه ریاضی، لگاریتم و تابع نمایی، دو تا تابعیه که توی حساب خطای مدل‌ها مدام دیده می‌شن.