ضرب داخلی دو بردار

فاکتور میوه‌فروشی

از میوه‌فروشی ۲ کیلو سیب، ۳ کیلو پرتقال و ۱ کیلو موز خریدید. میوه‌فروش چطور حساب می‌کنه؟

هر کیلو رو ضرب در قیمت خودش می‌کنه، و آخرش همه رو جمع می‌زنه: ۱۰۰ و ۱۲۰ و ۹۰، روی هم ۳۱۰. شما همین الان یه ضرب داخلی حساب کردید.

اینجا دو تا بردار داریم: بردار کیلوها (۲، ۳، ۱) و بردار قیمت‌ها (۵۰، ۴۰، ۹۰). ضرب داخلیشون همون جمع فاکتوره.

قاعده‌ش

1. دو تا بردار هم‌اندازه بردارید؛ مثلا هر دو سه تا عدد.
2. عدد اول رو با عدد اول ضرب کنید، دومی با دومی، و همین‌طور.
3. همه‌ی ضرب‌ها رو جمع کنید.

جواب یه عدده، نه یه بردار. برای همین بهش «ضرب اسکالر» هم می‌گن، یعنی ضربی که جوابش یه عدد تنهاست. توی کتاب‌ها با یه نقطه نشونش می‌دن، برای همین بهش «ضرب نقطه‌ای» هم می‌گن.

دو بردار باید هم‌اندازه باشن؛ اگه فاکتور سه تا میوه داشته باشه و قیمت‌ها دو تا، یکی جفت نداره.

نمره‌ی ترم

یه مثال دیگه که خیلی‌ها دیدن. معلم می‌گه نمره‌ی کلاسی سه دهم، میان‌ترم سه دهم و پایان‌ترم چهار دهم نمره‌ی آخر رو می‌سازه:

اینم یه ضرب داخلیه: بردار نمره‌ها ضرب داخلی بردار وزن‌ها. به عددهای پایین می‌گن وزن؛ می‌گن هر نمره چقدر مهمه. پایان‌ترم وزن بیشتری داره، پس روی نمره‌ی آخر اثر بیشتری داره.

وزن می‌تونه منفی هم باشه. مثلا برای قیمت یه خونه، «سن ساختمون» وزن منفی داره: هر چی سن بیشتر، قیمت کمتر.

هم‌جهت، عمود، برعکس

ضرب داخلی یه چیز دیگه هم می‌گه: دو تا بردار چقدر به یه طرفن. توی درس بردار دیدیم هر بردار یه فلشه:

دو تا دوست رو در نظر بگیرید که به فیلم‌های اکشن و کمدی امتیاز دادن. هر کدوم یه بردار دارن. اگه سلیقه‌شون شبیه باشه، فلش‌هاشون هم‌جهته و ضرب داخلی بزرگ و مثبت درمیاد. اگه ربطی به هم نداشته باشه، فلش‌ها عمودن و جواب صفره. اگه یکی هر چی رو دوست داره که اون یکی بدش میاد، فلش‌ها برعکسن و جواب منفیه.

فقط جهت

یه مشکل کوچیک هست: کسی که به همه‌چی امتیاز بالا می‌ده، فلشش بلندتره و ضرب داخلیش با همه بزرگ‌تر درمیاد. اگه فقط شباهت سلیقه مهمه، نه بلندی فلش، جواب رو تقسیم بر طول دو فلش می‌کنیم.

به این می‌گن شباهت کسینوسی. همیشه بین منفی یک و یکه: یک یعنی کاملا هم‌جهت، صفر یعنی عمود، منفی یک یعنی کاملا برعکس. پیشنهاد «کسی که سلیقه‌ش مثل شماست اینو دیده» از همین جور حساب‌ها میاد.

توی یادگیری ماشین

حالا برگردیم سراغ مدل. هر ردیف جدول یه بردار ویژگی بود. مدل یه بردار وزن هم داره. ضرب داخلی این دو تا، یه عدد می‌ده که مدل باهاش پیش‌بینی می‌کنه؛ درست مثل نمره‌ی ترم.

«یاد گرفتن» یعنی پیدا کردن همین وزن‌ها. توی درس شیر آب دوش دیدیم مدل پیچ‌هاش رو کم‌کم می‌چرخونه؛ اون پیچ‌ها همین وزن‌هان. درس بعد، ماتریس، یعنی چطور خیلی از این ضرب‌ها رو یه‌جا حساب کنیم.